Articulus 3. Utrum mathematica consideratio sit sine materia de his quae habent esse in materia.

1. Ad tertium sic proceditur. Videtur quod mathematica consideratio non sit sine materia de his quae habent esse in materia. Cum enim veritas consistat in adaequatione rei ad intellectum, oportet esse falsitatem, quandocumque res consideratur aliter quam sit. Si ergo res, quae sunt in materia, sine materia considerat mathematica, eius consideratio erit falsa, et sic non erit scientia, cum omnis scientia sit verorum.

2. Praeterea, secundum philosophum in I posteriorum cuiuslibet scientiae est considerare subiectum et partes subiecti. Sed omnium materialium secundum esse materia pars est. Ergo non potest esse quod aliqua scientia consideret de his quae sunt in materia, absque hoc quod materiam consideret.

3. Praeterea, omnes lineae rectae sunt eiusdem speciei. Sed mathematicus considerat lineas rectas numerando eas, alias non consideraret triangulum et quadratum. Ergo considerat lineas, secundum quod differunt numero et conveniunt specie. Sed principium differendi his, quae secundum speciem conveniunt, est materia, ut ex supra dictis patet. Ergo materia consideratur a mathematico.

4. Praeterea, nulla scientia, quae penitus abstrahit a materia, demonstrat per causam materialem. Sed in mathematica fiunt aliquae demonstrationes, quae non possunt reduci nisi ad causam materialem, sicut cum demonstratur aliquid de toto ex partibus. Partes enim sunt materia totius, ut dicitur in II physicorum. Unde et in II posteriorum reducitur ad causam materialem demonstratio, qua demonstratur quod angulus qui est in semicirculo est rectus ex hoc quod utraque pars eius est semirectus. Ergo mathematica non omnino abstrahit a materia.

5. Praeterea, motus non potest esse sine materia. Sed mathematicus debet considerare motum, quia cum motus mensuretur secundum spatium, eiusdem rationis et scientiae videtur esse considerare quantitatem spatii, quod pertinet ad mathematicum, et quantitatem motus. Ergo mathematicus non omnino dimittit considerationem materiae.

6. Praeterea, astrologia quaedam pars mathematicae est; et similiter scientia de sphaera mota et scientia de ponderibus et musica, in quibus omnibus fit consideratio de motu et rebus mobilibus. Ergo mathematica non abstrahit totaliter a materia et motu.

7. Praeterea, naturalis consideratio tota est circa materiam et motum. Sed quaedam conclusiones demonstrantur communiter a mathematico et naturali, ut utrum terra sit rotunda, et utrum sit in medio caeli. Ergo non potest esse quod mathematica omnino abstrahat a materia. Si dicatur quod abstrahit tantum a materia sensibili, contra. Materia sensibilis videtur esse materia particularis, quia sensus particularium est, a qua omnes scientiae abstrahunt. Ergo mathematica consideratio non debet dici magis abstracta quam aliqua aliarum scientiarum.

8. Praeterea, philosophus in II physicorum dicit tria esse negotia. Primum est de mobili et corruptibili, secundum de mobili et incorruptibili, tertium de immobili et incorruptibili. Primum autem est naturale, tertium divinum, secundum mathematicum, ut Ptolemaeus exponit in principio Almagesti. Ergo mathematica est de mobilibus.

1. Sed contra est quod philosophus dicit in VI metaphysicae.

2. Praeterea, quaedam res sunt, quae quamvis sint in materia, tamen non recipiunt in sui diffinitione materiam, ut curvum, et in hoc differt a simo. Sed philosophia debet de omnibus entibus considerare. Ergo oportet de huiusmodi esse aliquam partem philosophiae, et haec est mathematica, cum ad nullam aliam pertineat.

3. Praeterea, ea, quae sunt priora secundum intellectum, possunt sine posterioribus considerari. Sed mathematica sunt priora naturalibus, quae sunt in materia et motu; habent enim se ex additione ad mathematica, ut dicitur in III caeli et mundi. Ergo mathematica consideratio potest esse sine materia et motu.

Responsio. Dicendum quod ad evidentiam huius quaestionis oportet videre, qualiter intellectus secundum suam operationem abstrahere possit. Sciendum est igitur quod secundum philosophum in III de anima duplex est operatio intellectus. Una, quae dicitur intelligentia indivisibilium, qua cognoscit de unoquoque, quid est. Alia vero, qua componit et dividit, scilicet enuntiationem affirmativam vel negativam formando. Et hae quidem duae operationes duobus, quae sunt in rebus, respondent. Prima quidem operatio respicit ipsam naturam rei, secundum quam res intellecta aliquem gradum in entibus obtinet, sive sit res completa, ut totum aliquod, sive res incompleta, ut pars vel accidens. Secunda vero operatio respicit ipsum esse rei, quod quidem resultat ex congregatione principiorum rei in compositis vel ipsam simplicem naturam rei concomitatur, ut in substantiis simplicibus. Et quia veritas intellectus est ex hoc quod conformatur rei, patet quod secundum hanc secundam operationem intellectus non potest vere abstrahere quod secundum rem coniunctum est, quia in abstrahendo significaretur esse separatio secundum ipsum esse rei, sicut si abstraho hominem ab albedine dicendo: homo non est albus, significo esse separationem in re. Unde si secundum rem homo et albedo non sint separata, erit intellectus falsus. Hac ergo operatione intellectus vere abstrahere non potest nisi ea quae sunt secundum rem separata, ut cum dicitur: homo non est asinus. Sed secundum primam operationem potest abstrahere ea quae secundum rem separata non sunt, non tamen omnia, sed aliqua. Cum enim unaquaeque res sit intelligibilis, secundum quod est in actu, ut dicitur in IX metaphysicae, oportet quod ipsa natura sive quiditas rei intelligatur: vel secundum quod est actus quidam, sicut accidit de ipsis formis et substantiis simplicibus, vel secundum id quod est actus eius, sicut substantiae compositae per suas formas, vel secundum id quod est ei loco actus, sicut materia prima per habitudinem ad formam et vacuum per privationem locati. Et hoc est illud, ex quo unaquaeque natura suam rationem sortitur. Quando ergo secundum hoc, per quod constituitur ratio naturae et per quod ipsa natura intelligitur, natura ipsa habet ordinem et dependentiam ad aliquid aliud, tunc constat quod natura illa sine illo alio intelligi non potest, sive sint coniuncta coniunctione illa, qua pars coniungitur toti, sicut pes non potest intelligi sine intellectu animalis, quia illud, a quo pes habet rationem pedis, dependet ab eo, a quo animal est animal, sive sint coniuncta per modum quo forma coniungitur materiae, vel ut pars comparti vel accidens subiecto, sicut simum non potest intelligi sine naso, sive etiam sint secundum rem separata, sicut pater non potest intelligi sine intellectu filii, quamvis istae relationes inveniantur in diversis rebus. Si vero unum ab altero non dependeat secundum id quod constituit rationem naturae, tunc unum potest ab altero abstrahi per intellectum ut sine eo intelligatur, non solum si sint separata secundum rem, sicut homo et lapis, sed etiam si secundum rem coniuncta sint, sive ea coniunctione, qua pars et totum coniunguntur, sicut littera potest intelligi sine syllaba, sed non e converso, et animal sine pede, sed non e converso, sive etiam sint coniuncta per modum quo forma coniungitur materiae et accidens subiecto, sicut albedo potest intelligi sine homine, et e converso.

Sic ergo intellectus distinguit unum ab altero aliter et aliter secundum diversas operationes; quia secundum operationem, qua componit et dividit, distinguit unum ab alio per hoc quod intelligit unum alii non inesse. In operatione vero qua intelligit, quid est unumquodque, distinguit unum ab alio, dum intelligit, quid est hoc, nihil intelligendo de alio, neque quod sit cum eo, neque quod sit ab eo separatum. Unde ista distinctio non proprie habet nomen separationis, sed prima tantum. Haec autem distinctio recte dicitur abstractio, sed tunc tantum quando ea, quorum unum sine altero intelligitur, sunt simul secundum rem. Non enim dicitur animal a lapide abstrahi, si animal absque intellectu lapidis intelligatur. Unde cum abstractio non possit esse, proprie loquendo, nisi coniunctorum in esse, secundum duos modos coniunctionis praedictos, scilicet qua pars et totum uniuntur vel forma et materia, duplex est abstractio, una, qua forma abstrahitur a materia, alia, qua totum abstrahitur a partibus. Forma autem illa potest a materia aliqua abstrahi, cuius ratio essentiae non dependet a tali materia. Ab illa autem materia non potest forma abstrahi per intellectum, a qua secundum suae essentiae rationem dependet. Unde cum omnia accidentia comparentur ad substantiam subiectam sicut forma ad materiam et cuiuslibet accidentis ratio dependeat ad substantiam, impossibile est aliquam talem formam a substantia separari. Sed accidentia superveniunt substantiae quodam ordine. Nam primo advenit ei quantitas, deinde qualitas, deinde passiones et motus. Unde quantitas potest intelligi in materia subiecta, antequam intelligantur in ea qualitates sensibiles, a quibus dicitur materia sensibilis. Et sic secundum rationem suae substantiae non dependet quantitas a materia sensibili, sed solum a materia intelligibili. Substantia enim remotis accidentibus non manet nisi intellectu comprehensibilis, eo quod sensitivae potentiae non pertingunt usque ad substantiae comprehensionem. Et de huiusmodi abstractis est mathematica, quae considerat quantitates et ea quae quantitates consequuntur, ut figuras et huiusmodi.

Totum etiam non a quibuslibet partibus abstrahi potest. Sunt enim quaedam partes, ex quibus ratio totius dependet, quando scilicet hoc est esse tali toti quod ex talibus partibus componi, sicut se habet syllaba ad litteras et mixtum ad elementa; et tales partes dicuntur partes speciei et formae, sine quibus totum intelligi non potest, cum ponantur in eius diffinitione. Quaedam vero partes sunt quae accidunt toti, in quantum huiusmodi, sicut semicirculus se habet ad circulum. Accidit enim circulo, quod sumantur per divisionem duae eius partes aequales vel inaequales vel etiam plures; non autem accidit triangulo, quod in eo designentur tres lineae, quia ex hoc triangulus est triangulus. Similiter etiam per se competit homini quod inveniatur in eo anima rationalis et corpus compositum ex quattuor elementis, unde sine his partibus homo intelligi non potest, sed haec oportet poni in diffinitione eius; unde sunt partes speciei et formae. Sed digitus, pes et manus et aliae huiusmodi partes sunt post intellectum hominis, unde ex eis ratio essentialis hominis non dependet; et homo sine his intelligi potest. Sive enim habeat pedes sive non, dummodo ponatur coniunctum ex anima rationali et corpore mixto ex elementis propria mixtione, quam requirit talis forma, erit homo. Et hae partes dicuntur partes materiae, quae non ponuntur in diffinitione totius, sed magis e converso. Et hoc modo se habent ad hominem omnes partes signatae, sicut haec anima et hoc corpus et hic unguis et hoc os et huiusmodi. Hae enim partes sunt quidem partes essentiae sortis et Platonis, non autem hominis, in quantum homo; et ideo potest homo abstrahi per intellectum ab istis partibus, et talis abstractio est universalis a particulari.

Et ita sunt duae abstractiones intellectus. Una quae respondet unioni formae et materiae vel accidentis et subiecti, et haec est abstractio formae a materia sensibili. Alia quae respondet unioni totius et partis, et huic respondet abstractio universalis a particulari, quae est abstractio totius, in quo consideratur absolute natura aliqua secundum suam rationem essentialem, ab omnibus partibus, quae non sunt partes speciei, sed sunt partes accidentales. Non autem inveniuntur abstractiones eis oppositae, quibus pars abstrahatur a toto vel materia a forma; quia pars vel non potest abstrahi a toto per intellectum, si sit de partibus materiae, in quarum diffinitione ponitur totum, vel potest etiam sine toto esse, si sit de partibus speciei, sicut linea sine triangulo vel littera sine syllaba vel elementum sine mixto. In his autem quae secundum esse possunt esse divisa, magis habet locum separatio quam abstractio. Similiter autem cum dicimus formam abstrahi a materia, non intelligitur de forma substantiali, quia forma substantialis et materia sibi correspondens dependent ad invicem, ut unum sine alio non possit intelligi, eo quod proprius actus in propria materia fit. Sed intelligitur de forma accidentali, quae est quantitas et figura, a qua quidem materia sensibilis per intellectum abstrahi non potest, cum qualitates sensibiles non possint intelligi non praeintellecta quantitate, sicut patet in superficie et colore, nec etiam potest intelligi esse subiectum motus, quod non intelligitur quantum. Substantia autem, quae est materia intelligibilis quantitatis, potest esse sine quantitate; unde considerare substantiam sine quantitate magis pertinet ad genus separationis quam abstractionis.

Sic ergo in operatione intellectus triplex distinctio invenitur. Una secundum operationem intellectus componentis et dividentis, quae separatio dicitur proprie; et haec competit scientiae divinae sive metaphysicae. Alia secundum operationem, qua formantur quiditates rerum, quae est abstractio formae a materia sensibili; et haec competit mathematicae. Tertia secundum eandem operationem quae est abstractio universalis a particulari; et haec competit etiam physicae et est communis omnibus scientiis, quia in scientia praetermittitur quod per accidens est et accipitur quod per se est. Et quia quidam non intellexerunt differentiam duarum ultimarum a prima, inciderunt in errorem, ut ponerent mathematica et universalia a sensibilibus separata, ut Pythagorici et Platonici.

Ad primum ergo dicendum quod mathematicus abstrahens non considerat rem aliter quam sit. Non enim intelligit lineam esse sine materia sensibili, sed considerat lineam et eius passiones sine consideratione materiae sensibilis, et sic non est dissonantia inter intellectum et rem, quia etiam secundum rem id, quod est de natura lineae, non dependet ab eo, quod facit materiam esse sensibilem, sed magis e converso. Et sic patet quod abstrahentium non est mendacium, ut dicitur in II physicorum.

Ad secundum dicendum quod materiale dicitur non solum id, cuius pars est materia, sed etiam illud, quod in materia esse habet, secundum quem modum linea sensibilis materiale quoddam dici potest. Unde per hoc non prohibetur quin linea sine materia intelligi possit. Non enim materia sensibilis comparatur ad lineam sicut pars, sed magis sicut subiectum, in quo esse habet, et similiter est de superficie et corpore. Non enim mathematicus considerat corpus, quod est in genere substantiae, prout eius pars est materia et forma, sed secundum quod est in genere quantitatis tribus dimensionibus perfectum, et sic comparatur ad corpus quod est in genere substantiae, cuius pars est materia physica, sicut accidens ad subiectum.

Ad tertium dicendum quod materia non est principium diversitatis secundum numerum nisi secundum quod in multas partes divisa in singulis partibus formam recipiens eiusdem rationis plura individua eiusdem speciei constituit. Materia autem dividi non potest nisi ex praesupposita quantitate, qua remota omnis substantia indivisibilis remanet, et sic prima ratio diversificandi ea, quae sunt unius speciei, est penes quantitatem. Quod quidem quantitati competit, in quantum in sui ratione situm quasi differentiam constitutivam habet, qui nihil est aliud quam ordo partium. Unde etiam abstracta quantitate a materia sensibili per intellectum adhuc contingit imaginari diversa secundum numerum unius speciei, sicut plures triangulos aequilateros et plures lineas rectas aequales.

Ad quartum dicendum quod mathematica non abstrahuntur a qualibet materia, sed solum a materia sensibili. Partes autem quantitatis, a quibus demonstratio sumpta quodammodo a causa materiali videtur sumi, non sunt materia sensibilis, sed pertinent ad materiam intelligibilem, quae etiam in mathematicis invenitur, ut patet in VII metaphysicae.

Ad quintum dicendum quod motus secundum naturam suam non pertinet ad genus quantitatis, sed participat aliquid de natura quantitatis aliunde, secundum quod divisio motus sumitur vel ex divisione spatii vel ex divisione mobilis; et ideo considerare motus non pertinet ad mathematicum, sed tamen principia mathematica ad motum applicari possunt. Et ideo secundum hoc, quod principia quantitatis ad motum applicantur, naturalis considerat de divisione et continuitate motus, ut patet in VI physicorum. Et in scientiis mediis inter mathematicam et naturalem tractatur de mensuris motuum, sicut in scientia de sphaera mota et in astrologia.

Ad sextum dicendum quod in compositis simplicia salvantur et proprietates eorum, licet per alium modum, sicut propriae qualitates elementorum et motus ipsorum proprii inveniuntur in mixto; quod autem est compositorum proprium, non invenitur in simplicibus. Et inde est quod quanto aliqua scientia est abstractior et simpliciora considerans, tanto eius principia sunt magis applicabilia aliis scientiis. Unde principia mathematicae sunt applicabilia naturalibus rebus, non autem e converso, propter quod physica est ex suppositione mathematicae, sed non e converso, ut patet in III caeli et mundi. Et inde est quod de rebus naturalibus et mathematicis tres ordines scientiarum inveniuntur. Quaedam enim sunt pure naturales, quae considerant proprietates rerum naturalium, in quantum huiusmodi, sicut physica et agricultura et huiusmodi. Quaedam vero sunt pure mathematicae, quae determinant de quantitatibus absolute, sicut geometria de magnitudine et arithmetica de numero. Quaedam vero sunt mediae, quae principia mathematica ad res naturales applicant, ut musica, astrologia et huiusmodi. Quae tamen magis sunt affines mathematicis, quia in earum consideratione id quod est physicum est quasi materiale, quod autem est mathematicum est quasi formale; sicut musica considerat sonos, non in quantum sunt soni, sed in quantum sunt secundum numeros proportionabiles, et similiter est in aliis. Et propter hoc demonstrant conclusiones suas circa res naturales, sed per media mathematica; et ideo nihil prohibet, si in quantum cum naturali communicant, materiam sensibilem respiciunt. In quantum enim cum mathematica communicant, abstractae sunt.

Ad septimum dicendum quod, quia scientiae mediae, de quibus dictum est, communicant cum naturali secundum id quod in earum consideratione est materiale, differunt autem secundum id quod in earum consideratione est formale, ideo nihil prohibet has scientias cum naturali habere interdum easdem conclusiones. Non tamen per eadem demonstrant nisi secundum quod scientiae sunt immixtae et una interdum utitur eo quod est alterius, sicut rotunditatem terrae naturalis probat ex motu gravium, astrologus autem per considerationem lunarium eclipsium.

Ad octavum dicendum quod, sicut dicit Commentator ibidem, philosophus non intendit ibi distinguere scientias speculativas, quia de quolibet mobili, sive sit corruptibile sive incorruptibile, determinat naturalis. Mathematicus autem, in quantum huiusmodi, non considerat aliquod mobile. Intendit autem distinguere res, de quibus scientiae speculativae determinant, de quibus seorsum et secundum ordinem agendum est, quamvis illa tria genera rerum tribus scientiis appropriari possint. Entia enim incorruptibilia et immobilia praecise ad metaphysicum pertinent. Entia vero mobilia et incorruptibilia propter sui uniformitatem et regularitatem possunt determinari quantum ad suos motus per principia mathematica, quod de mobilibus corruptibilibus dici non potest; et ideo secundum genus entium attribuitur mathematicae ratione astrologiae. Tertium vero remanet proprium soli naturali. Et sic loquitur Ptolemaeus.