Lectio 11

1. Postquam philosophus determinavit de divisione motus et quietis, hic excludit quaedam, ex quibus errabant aliqui circa motum. Et circa hoc tria facit: primo solvit rationes Zenonis, negantis totaliter motum esse; secundo ostendit quod indivisibile non movetur, contra Democritum, qui ponebat indivisibilia moveri semper, ibi: ostensis autem his etc.; tertio ostendit mutationem omnem esse finitam, contra Heraclitum, qui ponebat omnia moveri semper, ibi: mutatio autem et cetera. Circa primum duo facit: primo ponit quandam rationem Zenonis et solvit eam, quae pertinet ad id quod immediate de motu praemiserat; secundo explicat omnes rationes eius per ordinem, ibi: quatuor autem sunt rationes et cetera.

2. Dicit ergo primo quod Zeno male ratiocinabatur, et apparenti syllogismo utebatur ad ostendendum quod nihil movetur, etiam illud quod videtur velocissime moveri, sicut sagitta quae fertur. Et erat ratio sua talis. Omne quod est in loco sibi aequali, aut movetur aut quiescit: sed omne quod fertur, in quolibet nunc est in aliquo loco sibi aequali: ergo et in quolibet nunc aut movetur aut quiescit. Sed non movetur: ergo quiescit. Si autem in nullo nunc movetur, sed magis videtur quiescere, sequitur quod in toto tempore non moveatur, sed magis quiescat. Posset autem haec ratio solvi per id quod supra ostensum est, quod in nunc neque movetur neque quiescit. Sed haec solutio intentionem Zenonis non excluderet: sufficit enim Zenoni, si ostendere possit quod in toto tempore non movetur; quod videtur sequi ex hoc quod in nullo nunc eius movetur. Et ideo Aristoteles aliter solvit, et dicit falsum esse quod ratio concludit, et non sequi ex praemissis. Ad hoc enim quod aliquid moveatur in tempore aliquo, oportet quod moveatur in qualibet parte illius temporis: ipsa autem nunc non sunt partes temporis; non enim componitur tempus ex nunc indivisibilibus, sicut neque aliqua magnitudo componitur ex indivisibilibus, ut supra probatum est: unde non sequitur quod in tempore non moveatur aliquid, ex hoc quod in nullo nunc movetur.

3. Deinde cum dicit: quatuor autem sunt rationes etc., ponit seriatim omnes rationes Zenonis, quibus utebatur ad destruendum motum. Et circa hoc tria facit: primo manifestat quomodo destruebat per suas rationes motum localem; secundo quomodo destruebat alias species mutationum, ibi: neque igitur secundum mutationem etc.; tertio quomodo destruebat specialiter motum circularem, ibi: iterum autem in circulo et cetera.

4. Circa primum quatuor rationes ponit: et hoc est quod dicit, quod Zeno utebatur quatuor rationibus contra motum, quae ingerebant difficultatem multis eas solvere volentibus. Quarum prima talis est. Si aliquid movetur per totum aliquod spatium, oportet quod prius pertranseat medium quam perveniat ad finem: sed cum illud medium sit divisibile, oportebit quod etiam prius pertranseat medium illius medii, et sic in infinitum, cum magnitudo sit in infinitum divisibilis: infinita autem non est transire in aliquo tempore finito: ergo nihil potest moveri. Dicit ergo Aristoteles quod superius, circa principium huius sexti libri, solvit istam rationem per hoc, quod similiter tempus in infinita dividitur, sicut et magnitudo. Quae quidem solutio est magis ad interrogantem si infinita contingat transire in tempore finito, quam ad interrogationem, ut dicet in octavo; ubi solvit hanc rationem per hoc, quod mobile non utitur infinitis quae sunt in magnitudine, quasi in actu existentibus, sed ut in potentia existentibus. Tunc autem aliquo puncto spatii utitur quod movetur ut in actu existenti, quando utitur eo ut principio et ut fine: et tunc necesse est quod ibi stet, ut ibi ostendetur. Et si sic oporteret transire infinita quasi in actu existentia, numquam veniretur ad finem.

5. Secundam rationem ponit ibi: secunda autem vocata etc.; et dicit quod hanc secundam rationem vocabant Achillem, quasi invincibilem et insolubilem. Et erat ratio talis. Quia si aliquid movetur, sequitur quod id quod currit tardius, si incepit primo moveri, nunquam iungetur vel attingetur a quocumque velocissimo. Quod sic probabat. Si tardum incepit moveri ante velocissimum per aliquod tempus, in illo tempore pertransivit aliquod spatium: ante igitur quam velocissimum quod persequitur, possit attingere tardissimum quod fugit, necesse est quod vadat ab illo loco unde movit fugiens, usque ad illum locum quo pervenit fugiens tempore illo quo persequens non movebatur. Sed oportet quod velocissimum illud spatium pertranseat in aliquo tempore, in quo tempore iterum tardius aliquod spatium pertransit, et sic semper. Ergo semper tardius habet aliquid ante, idest aliquod spatium in quo praecedit velocissimum, quod ipsum persequitur: et ita velocius numquam attinget tardius. Hoc autem est inconveniens. Ergo magis dicendum est quod nihil movetur.

6. Ad solvendum autem hanc rationem dicit, quod haec ratio est eadem cum prima, quae procedebat ex decisione spatii in duo media, quantum ad virtutem medii: sed differt ab ea in hoc, quod aliqua accepta magnitudo spatii non dividitur in duo media, sed dividitur secundum proportionem excessus velocioris ad tardius in motu. Nam in primo tempore, quo movebatur solum tardius, accipitur maior magnitudo; in secundo autem tempore, in quo velocius pertransit praedictum spatium, cum sit minus, accipitur minor magnitudo pertransita a tardiori, et sic semper. Unde quia tempus et magnitudo semper dividuntur, videtur accidere ex hac ratione quod tardius nunquam iungatur a velociori. Sed hoc in idem tendit cum eo quod in prima ratione dicebatur de divisione magnitudinis in duo media: quia in utraque ratione videtur accidere quod mobile non possit adiungere usque ad terminum quendam, propter divisionem magnitudinis in infinitum, quocunque modo dividatur; scilicet vel in duo media, sicut prima ratio procedebat, vel secundum excessum velocioris ad tardius, sicut procedebat secunda ratio. Sed in hac secunda ratione apponitur, quod velocissimum non potest attingere ad tardius dum persequitur ipsum: quod dictum est cum quadam tragoedia, idest cum quadam magnificatione verborum ad admirationem movendam; sed non facit aliquid ad virtutem rationis. Unde patet quod necesse est esse eandem solutionem huius secundae rationis et primae. Sicut enim in prima ratione falsum concludebatur, quod scilicet mobile nunquam perveniret ad terminum magnitudinis, propter infinitam magnitudinis divisionem; ita falsum est quod vult secunda ratio concludere, quod tardius praecedens nunquam iungatur a velociori sequente; quod nihil est aliud quam mobile non pervenire ad aliquem terminum. Verum est enim quod quamdiu praecedit tardius, non coniungitur sibi velocius. Sed tamen quandoque coniungetur sibi, si hoc detur, quod mobile possit pertransire finitam magnitudinem in tempore finito. Pertransibit enim velocius persequens totam illam magnitudinem qua praecedebat ipsum tardius fugiens, et adhuc maiorem, in minori tempore quam tardius moveatur ultra per aliquam determinatam quantitatem: et ita non solum attinget ipsum, sed etiam ultra transibit. Hae igitur sunt duae rationes Zenonis, sic solutae.

7. Tertiam rationem ponit ibi: tertia autem et cetera. Et dicit quod tertia ratio Zenonis erat illa quam supra posuit antequam inciperet rationes enumerare, scilicet quod sagitta, quando fertur, quiescit. Et sicut supra dictum est, hoc accidere videtur ex eo quod ipse supponit quod tempus componatur ex ipsis nunc. Nisi enim hoc concedatur, non poterit syllogizare ad propositum.

8. Quartam rationem ponit ibi: quarta autem et cetera. Circa quam tria facit: primo ponit rationem; secundo solutionem, ibi: est autem deceptio etc.; tertio manifestat per exempla, ibi: ut sint stantes aequales magnitudines et cetera. Dicit ergo primo quod quarta ratio Zenonis procedebat ex aliquibus quae moventur in aliquo stadio, ita quod sint duae magnitudines aequales, quae moveantur iuxta aequalia, idest per aliquod spatium stadii aequale utrique in quantitate: et sit iste motus ex contrarietate, idest ita quod una magnitudinum aequalium moveatur per illud spatium stadii versus unam partem, et alia versus aliam partem: ita tamen quod una magnitudinum mobilium incipiat moveri a fine stadii ei aequalis, alia vero incipiat moveri a medietate stadii, sive spatii in stadio dato: et utraque moveatur aeque velociter. Hac positione facta, opinabatur Zeno quod accideret quod tempus dimidium esset aequale duplo: quod cum sit impossibile, volebat ex hoc ulterius inferre quod impossibile est aliquid moveri.

9. Deinde cum dicit: est autem deceptio etc., ponit solutionem. Et dicit quod Zeno in hoc decipiebatur, quod accipiebat ex una parte mobile moveri iuxta magnitudinem motam, et ex alia parte accipiebat quod moveretur iuxta magnitudinem quiescentem, aequalem magnitudini motae. Et quia supponitur aequalis velocitas mobilium, volebat quod secundum aequale tempus sit motus aeque velocium circa aequales magnitudines, quarum una movetur et alia quiescit. Quod patet esse falsum. Quia cum aliquid movetur iuxta magnitudinem quiescentem, non est ibi nisi unus motus: sed quando aliquid movetur iuxta magnitudinem motam, sunt ibi duo motus. Et si sint in eandem partem, addetur de tempore; si autem sint in oppositas partes, diminuetur de tempore, secundum quantitatem alterius motus. Quia si magnitudo iuxta quam aliquod mobile movetur, in eandem partem moveatur aequali velocitate vel etiam maiori, nunquam mobile poterit eam pertransire: si vero minori velocitate magnitudo moveatur, pertransibit eam quandoque, sed in maiori tempore quam si quiesceret. E contrario autem est si magnitudo moveatur in oppositum mobilis: quia quantum magnitudo velocius movetur, tanto mobile in minori tempore eam pertransit; quia uterque motus operatur ad hoc quod se invicem pertranseant.

10. Deinde cum dicit: ut sint etc., manifestat quod dixerat in terminis. Ponatur enim quod sint tres magnitudines aequales sibi invicem, in quarum qualibet ponatur a; et sint istae magnitudines stantes, idest non motae; ut si intelligatur quod sit aliquod spatium trium cubitorum, in quorum quolibet describatur a. Et sint aliae tres magnitudines aequales sibi invicem, in quarum qualibet describatur b; ut puta si intelligamus quod sit unum mobile trium cubitorum. Incipiant autem hae magnitudines moveri a medio spatii. Sint etiam tres magnitudines aliae aequales numero et magnitudine et velocitate ipsis b, et scribatur in istis c, et incipiant moveri ab ultimo spatii, scilicet ab ultimo a. Hac ergo suppositione facta, continget quod primum b per suum motum perveniet ad hoc quod sit simul cum ultimo a; et iterum primum c per suum motum perveniet ut sit cum primo a, opposito ultimo: et simul etiam cum hoc erit cum ultimo b, quasi transiens secus invicem motorum, idest iuxta omnia b, quae invicem ei contramoventur. Cum autem hoc factum fuerit, constat quod istud primum c transivit omnia a, sed ipsum b non transivit nisi media. Cum ergo b et c sint aequalis velocitatis, et aeque velox minorem magnitudinem in minori tempore pertranseat; sequitur quod tempus in quo b pervenit ad ultimum a, sit dimidium temporis in quo c pervenit ad primum a oppositum: in aequali enim tempore utrumque, scilicet b et c, est iuxta unumquodque; idest in aequali tempore c et b pertranseunt quandocumque a. Hoc ergo supposito, quod tempus in quo b pervenit ad ultimum a, sit dimidium temporis in quo c pervenit ad primum a oppositum, ulterius considerandum est quomodo Zeno volebat concludere quod hoc dimidium temporis sit aequale illi duplo. Ex quo enim ponitur tempus motus ipsius c, duplum temporis motus ipsius b. Ponatur quod in prima medietate temporis, b quiescebat et c movebatur, et sic c in illa medietate temporis pervenit usque ad medietatem spatii ubi est b; et tunc b incipiat moveri ad unam partem, et c ad aliam. Quando autem b pervenit ad ultimum a, oportet quod pertransierit omnia c, quia simul primum b et primum c sunt in contrariis ultimis, scilicet unum in primo a, et aliud in ultimo; et sicut ipse dicebat, c in aequali tempore fit iuxta unumquodque b, in quanto tempore pertransit unumquodque ipsorum a. Et hoc ideo, quia ambo, scilicet b et c, in aequali tempore pertranseunt unum a: et sic videtur quod si b in aequali tempore pertransit in quanto pertransit ipsum c, quod c in aequali tempore pertransit ipsum b et ipsum a. Ergo tempus in quo c pertransit omnia b, est aequale tempori in quo pertransivit omnia a. Tempus autem in quo c pertransit omnia b, est aequale tempori in quo c vel b pertransit medietatem ipsorum a, ut dictum est. Probatum est autem quod tempus in quo ipsum b pertransit medietatem ipsorum a, est dimidium temporis in quo c pertransit omnia a. Ergo sequitur quod dimidium sit aequale duplo; quod est impossibile. Haec igitur est ratio Zenonis. Sed incidit in falsitatem praedictam: quia scilicet accipit quod c in eodem tempore pertranseat b contra-motum et a quiescens; quod est falsum, ut supra dictum est.

11. Deinde cum dicit: neque igitur secundum etc., ponit rationem qua Zeno excludebat mutationem quae est inter contradictoria. Dicebat enim sic. Omne quod mutatur, dum mutatur, in neutro terminorum est: quia dum est in termino a quo, nondum mutatur; dum autem est in termino ad quem, iam mutatum est. Si ergo aliquid mutetur de uno contradictorio in aliud, sicut de non albo in album, sequitur quod dum mutatur, neque sit album neque non album; quod est impossibile. Licet autem hoc inconveniens sequatur aliquibus, qui ponunt impartibile moveri, tamen nobis, qui ponimus quod omne quod movetur est partibile, nullum accidit impossibile. Non enim oportet, si non est totum in altero extremorum, quod propter hoc non possit dici aut album aut non album. Contingit enim quod una pars eius sit alba, et alia non alba. Non autem dicitur aliquid album ex eo quod totum sit huiusmodi, sed quia plures et principaliores partes sunt tales, quae magis propriae sunt natae tales esse: quia non idem est non esse in hoc, et non esse totum in hoc, scilicet in albo vel non albo. Et quod dictum est de albo vel non albo, intelligendum est de esse vel non esse simpliciter, et in omnibus quae opponuntur secundum contradictionem, sicut calidum et non calidum, et huiusmodi. Semper enim oportebit quod sit in altero contra oppositorum illud quod mutatur, quia denominabitur ab eo quod principalius inest: sed non sequitur quod semper sit totum in neutro extremorum, ut Zeno putabat. Sciendum est autem quod haec responsio sufficit ad repellendum rationem Zenonis, quod hic principaliter intenditur. Quomodo autem circa hoc se habeat veritas, in octavo plenius ostendetur. Non enim in quolibet verum est, quod pars ante partem alteretur vel generetur, sed aliquando totum simul, ut supra dictum est: et tunc non habet locum haec responsio, sed illa quae ponitur in octavo.

12. Deinde cum dicit: iterum autem in circulo etc., solvit rationem Zenonis, qua destruebat motum sphaericum. Dicebat enim quod non est possibile aliquid circulariter vel sphaerice moveri, vel quocumque alio modo, ita quod aliqua moveantur in seipsis, id est non progrediendo a loco in quo sunt, sed in ipsomet loco. Et hoc probabat tali ratione. Omne illud quod per aliquod tempus secundum totum et partes est in uno et eodem loco, quiescit: sed omnia huiusmodi sunt in eodem loco et ipsa et partes eorum secundum aliquod tempus, etiam dum ponuntur moveri: ergo sequitur quod simul moveantur et quiescant; quod est impossibile. Huic autem rationi obviat philosophus dupliciter. Primo quantum ad hoc quod dixerat, partes sphaerae motae esse in eodem loco per aliquod tempus: contra quod Aristoteles dicit quod partes sphaerae motae in nullo tempore sunt in eodem loco. Zeno enim accipiebat locum totius: et verum est quod dum sphaera movetur, nulla pars exit extra locum totius sphaerae; sed Aristoteles loquitur de proprio loco partis, secundum quod pars potest habere locum. Dictum est enim in quarto quod partes continui sunt in loco in potentia. Manifestum est autem in motu sphaerico, quod pars mutat proprium locum, sed non locum totius: quia ubi fuit una pars, succedit alia pars. Secundo obviat ad praedictam Zenonis rationem, quantum ad hoc quod dixit, quod totum manet in eodem loco per tempus. Contra quod Aristoteles dicit, quod etiam totum semper mutatur in alium locum: quod sic patet. Ad hoc enim quod sint duo loca diversa, non oportet quod unus illorum locorum sit totaliter extra alium; sed quandoque quidem secundus locus est partim coniunctus primo loco, et partim ab eo divisus, ut potest in his considerari quae moventur motu recto. Si enim aliquod cubitale corpus moveatur de ab loco in bc locum, quorum uterque locus sit cubitalis; dum movetur ab uno loco in alium, oportet quod partim deserat unum et subintret alium; sicut si deserat de loco ab quantum est ad, subintrabit in locum bc quantum est be. Manifestum est ergo quod locus de est alius a loco ab, non tamen totaliter ab eo seiunctus, sed partim. Si autem daretur quod illa pars mobilis quae subintrat secundum locum, regrederetur in partem loci quam mobile deserit, essent duo loca, et tamen in nullo ab invicem separata; sed solum differrent secundum rationem, secundum quod principium loci in diversis signis acciperetur, ubi scilicet est principium mobilis, idest aliquod signum quod in mobili accipitur ut principium: et sic erunt duo loca secundum rationem, sed unus locus secundum subiectum. Et sic intelligendum est quod hic dicit, quod non est eadem circulatio secundum quod accipitur ut incipiens ab a, et ut incipiens a b, et ut incipiens a c, vel a quocumque alio signo; nisi forte dicatur eadem circulatio subiecto, sicut musicus homo et homo, quia unum accidit alteri. Unde manifestum est quod semper de uno circulari loco movetur in alterum, et non quiescit, ut Zeno probare nitebatur. Et eodem modo se habet et in sphaera et in omnibus aliis quae infra locum proprium moventur, sicut rota et columna vel quidquid aliud huiusmodi.