Lectio 3

1. Postquam philosophus ostendit eiusdem rationis esse, quod magnitudo et motus per eam transiens ex indivisibilibus componantur, ostendit etiam idem de tempore et magnitudine. Et dividitur in partes duas: in prima ostendit quod ad divisionem magnitudinis sequitur divisio temporis, et e converso; in secunda ostendit quod ex infinitate unius sequitur infinitas alterius, ibi: et si quodcumque infinitum est et cetera. Circa primum duo facit: primo ponit propositum; secundo demonstrat, ibi: si enim omnis et cetera. Dicit ergo primo quod etiam tempus necesse est similiter esse divisibile et indivisibile, et componi ex indivisibilibus, sicut longitudo et motus.

2. Deinde cum dicit: si enim omnis etc., probat propositum tribus rationibus: quarum prima sumitur per aeque velocia; secunda per velocius et tardius, ibi: quoniam autem omnis etc.; tertia per idem mobile, ibi: amplius autem et ex consuetis et cetera. Dicit ergo primo quod de ratione aeque velocis est, quod minorem magnitudinem transeat in minori tempore. Detur ergo aliqua magnitudo divisibilis, quam pertransit aliquod mobile in aliquo tempore dato: sequitur ergo quod mobile aeque velox transeat partem magnitudinis in minori tempore; et sic oportuit tempus datum esse divisibile. Si autem e converso detur quod tempus sit divisibile, in quo mobile datum movetur per magnitudinem aliquam datam, sequitur quod aeque velox mobile in minori tempore, quod est pars totius temporis, moveatur per minorem magnitudinem: et ita sequitur quod magnitudo quae est a sit divisibilis.

3. Deinde cum dicit: quoniam autem omnis etc., ostendit idem per duo mobilia, quorum unum est velocius et aliud tardius. Et primo praemittit quaedam necessaria ad propositum ostendendum; secundo probat propositum, ibi: quoniam autem omnis quidem motus et cetera. Circa primum duo facit: primo ostendit quomodo velocius se habet ad tardius in hoc quod moveatur per maiorem magnitudinem; secundo quomodo se habeat ad ipsum quantum ad hoc quod est moveri per aequalem magnitudinem, ibi: manifestum autem ex his et cetera. Circa primum duo facit: primo proponit propositum, resumens quoddam ex superioribus, quod est necessarium ad demonstrationes sequentes; secundo demonstrat propositum, ibi: sit enim ipsum et cetera.

4. Resumit ergo hoc, quod omnis magnitudo sit divisibilis in magnitudines. Et hoc patet per hoc quod ostensum est supra, quod impossibile est aliquod continuum componi ex atomis, idest ex indivisibilibus; et manifestum est quod magnitudo omnis est de genere continuorum. Ex his sequitur quod necesse sit aliquod corpus velocius in aequali tempore per maiorem magnitudinem moveri; et etiam in minori tempore per maiorem magnitudinem moveri. Et hoc modo quidam definierunt velocius, quod plus movetur in aequali tempore et etiam in minori.

5. Deinde cum dicit: sit enim ipsum etc., probat duo praemissa. Et primo quod velocius in aequali tempore per maius spatium moveatur; secundo quod etiam in minori tempore per maius spatium movetur, ibi: at vero et in minori et cetera. Dicit ergo primo: sint duo mobilia a et b, quorum a velocius sit quam b; et sit magnitudo cd, quam pertransit a in tempore zi. Moveatur autem b quod est tardius, et a quod est velocius, per eandem magnitudinem, et incipiant simul moveri. His ergo positis, sic argumentatur. Velocius est quod in aequali tempore plus movetur: sed a est velocius quam b: ergo cum a pervenerit ad d, b nondum pervenit ad d, quod est terminus magnitudinis, sed adhuc deficiet, idest distabit ab eo; motum tamen erit in hoc tempore per aliquam partem magnitudinis. Cum ergo omnis pars sit minor toto, relinquitur quod a in tempore zi movetur per maiorem magnitudinem quam b, quod in eodem tempore movetur per partem magnitudinis. Unde sequitur quod velocius in aequali tempore plus de spatio pertransit.

6. Deinde cum dicit: at vero et in minori plus etc., ostendit quod velocius in minori tempore plus de spatio pertransit. Dictum est enim quod in tempore in quo a iam pervenit ad d, b quod est tardius, adhuc distat a d. Detur ergo quod in eodem tempore perveniat usque ad e. Quia igitur omnis magnitudo divisibilis est, ut supra positum est, dividatur residuum magnitudinis, scilicet ed, in quo velocius excedit tardius, in duas partes in puncto t. Manifestum est ergo quod magnitudo ct est minor quam magnitudo cd. Sed idem mobile per minorem magnitudinem movetur in minori tempore. Quia ergo ipsum a pervenit ad d in toto tempore zi, ad punctum t perveniet in minori tempore; et sit illud tempus zk. Inde sic arguitur. Magnitudo ct, quam pertransit a, maior est magnitudine ce, quam pertransit b: sed tempus zk, in quo pertransit a magnitudinem ct, est minus toto tempore zi, in quo b tardius pertransit magnitudinem ce: sequitur ergo quod velocius in minori tempore pertranseat maius spatium.

7. Deinde cum dicit: manifestum autem etc., ostendit quomodo velocius se habeat ad tardius in moveri per aequalem magnitudinem. Et primo proponit intentum; secundo probat propositum, ibi: quoniam enim et cetera. Dicit ergo primo: quod ex praemissis manifestum esse potest, quod velocius pertransit aequale spatium in minori tempore. Secundo ibi: quoniam enim maiorem etc., probat propositum duabus rationibus. Ad quarum primam duo praemittit: quorum unum iam probatum est, scilicet quod velocius pertranseat maiorem magnitudinem in minori tempore quam tardius; secundum vero est per se manifestum, scilicet quod ipsum mobile secundum seipsum consideratum, in maiori tempore pertransit maiorem magnitudinem quam in minori. Pertranseat enim hoc mobile a, quod est velocius, hanc magnitudinem quae est lm, in pr tempore: et partem magnitudinis, scilicet LX, pertransibit in minori tempore quod est ps; quod est minus quam pr, in quo pertransit lm, sicut et LX est minor quam lm. Ex prima autem suppositione accipit quod totum tempus pr, in quo a pertransit totam magnitudinem lm, sit minus tempore h, in quo b quod est tardius, pertransit minorem magnitudinem, scilicet LX. Dictum est enim quod velocius in minori tempore pertransit maiorem magnitudinem. Ex his procedit sic. Tempus pr est minus tempore h, in quo b quod est tardius, pertransit magnitudinem LX; et tempus ps est minus quam tempus pr; ergo sequitur quod tempus ps sit minus quam tempus h: quia si aliquid est minus minore, etiam ipsum erit minus maiore. Cum ergo datum sit quod in tempore ps velocius movetur per LX magnitudinem, et tardius movetur per eandem in tempore h, sequitur quod velocius movetur in minori tempore per aequale spatium.

8. Secundam rationem ponit ibi: amplius autem si omne etc.: quae talis est. Omne quod movetur per aequalem magnitudinem cum aliquo alio mobili, aut movetur per eam in aequali tempore aut in minori aut in maiori. Quod autem movetur per aequalem magnitudinem in maiori tempore est tardius, ut supra probatum est: quod autem movetur in aequali tempore per aequalem magnitudinem, est aeque velox, ut per se manifestum est. Cum igitur id quod velocius est, neque sit aeque velox neque tardius, sequitur quod neque in pluri tempore moveatur per aequalem magnitudinem, neque in aequali: relinquitur ergo quod in minori. Sic ergo probatum est quod necesse est velocius pertransire aequalem magnitudinem in minori tempore.

9. Deinde cum dicit: quoniam autem omnis quidem etc., probat propositum, scilicet quod eiusdem rationis sit tempus et magnitudinem semper dividi in divisibilia, aut etiam ex indivisibilibus componi. Et circa hoc tria facit: primo praemittit quaedam quae sunt necessaria ad sequentem probationem; secundo ponit propositum, ibi: haec autem cum sint etc.; tertio probat, ibi: quoniam enim ostensum est et cetera. Praemittit ergo primo, quod omnis motus est in tempore; et hoc probatum est in quarto: item quod in omni tempore possibile sit moveri; quod ex definitione temporis apparet, quae in quarto data est. Secundum est, quod omne quod movetur, contingit moveri velocius et tardius; idest quod in quolibet mobili est invenire aliquid quod velocius movetur, et aliquid quod tardius. Sed haec propositio videtur esse falsa. Determinatae enim sunt velocitates motuum in natura: est enim aliquis motus ita velox, quod nullus potest esse eo velocior, scilicet motus primi mobilis. Ad hoc ergo dicendum, quod de natura alicuius rei possumus loqui dupliciter: vel secundum rationem communem, vel secundum quod ad propriam materiam applicatur. Et nihil prohibet aliquid, quod non impeditur ex ratione communi rei, impediri ex applicatione ad aliquam materiam determinatam; sicut non impeditur ex ratione formae solis esse plures soles, sed ex hoc quod tota materia speciei sub uno sole continetur. Et similiter ex communi natura motus non prohibetur quin qualibet velocitate data, possit alia maior velocitas inveniri: sed impeditur ex determinatis virtutibus mobilium et moventium. Hic autem Aristoteles determinat de motu secundum communem rationem motus, nondum applicando motum ad determinata moventia et mobilia: et ideo frequenter talibus propositionibus utitur in hoc sexto libro, quae sunt verae secundum considerationem communem motus, non autem secundum applicationem ad determinata mobilia. Et similiter non est contra rationem magnitudinis, quod quaelibet magnitudo dividatur in minores: et ideo utitur in hoc libro, ut accipiat qualibet magnitudine data aliam minorem; licet applicando magnitudinem ad determinatam naturam, sit aliqua minima magnitudo; quia quaelibet natura requirit determinatam magnitudinem et parvitatem, ut etiam in primo dictum est. Ex duobus autem praemissis concludit tertium, scilicet quod in omni tempore dato contingit et velocius et tardius moveri, quam sit motus datus in tali tempore.

10. Deinde cum dicit: haec autem cum sint etc., ex praemissis concludit propositum. Et dicit quod cum praemissa sint vera, necesse est quod tempus sit continuum, idest divisibile in semper divisibilia. Supposito enim quod haec sit definitio continui, necesse est quod tempus sit continuum, si magnitudo est continua; quia ad divisionem magnitudinis sequitur divisio temporis, et e converso. Deinde cum dicit: quoniam enim ostensum est etc., ostendit propositum, scilicet quod similiter dividatur tempus et magnitudo. Quia enim ostensum est quod velocius pertransit aequale spatium in minori tempore, ponatur quod a sit velocius et b sit tardius, et moveatur b tardius per magnitudinem quae est cd, in tempore zi. Manifestum est ergo quod a quod est velocius, movetur per eandem magnitudinem in minori tempore; et sit tempus illud zt. Iterum autem quia a quod est velocius, in tempore zt pertransivit totam magnitudinem quae est cd, b quod est tardius, in eodem tempore pertransit minorem magnitudinem, quae sit ck. Et quia b quod est tardius, pertransit magnitudinem ck in tempore zt, a quod est velocius, pertransibit eandem magnitudinem adhuc in minori tempore; et sic tempus zt iterum dividetur. Et eo diviso, secundum eandem rationem dividetur magnitudo ck; quia tardius in parte illius temporis movetur per minorem magnitudinem. Et si dividitur magnitudo, iterum dividetur et tempus; quia illam partem magnitudinis velocius transibit in minori tempore. Et sic semper procedetur, accipiendo post motum velocioris aliquod mobile tardius, et post tardius iterum velocius; et utendo eo quod demonstratum est, scilicet quod velocius pertranseat aequale in minori tempore, et tardius in aequali tempore minorem magnitudinem. Sic enim accipiendo id quod est velocius, dividemus tempus; et accipiendo id quod est tardius, dividemus magnitudinem. Si ergo hoc verum est, quod semper possit talis conversio fieri, procedendo a velociori in tardius et a tardiori in velocius; et facta tali conversione semper fit divisio magnitudinis et temporis; manifestum erit quod omne tempus est continuum, idest divisibile in semper divisibilia, et similiter omnis magnitudo; quia per easdem et aequales divisiones dividitur tempus et magnitudo, ut ostensum est.

11. Deinde cum dicit: amplius autem et ex consuetis etc., ponit tertiam rationem ad ostendendum quod magnitudo et tempus similiter dividuntur, ex consideratione unius et eiusdem mobilis. Et dicit quod manifestum est etiam per rationes quae consueverunt dici, quod si tempus est continuum, idest divisibile in semper divisibilia, quod et magnitudo eodem modo continua est: quia unum et idem mobile regulariter motum, sicut in toto tempore pertransit totam magnitudinem, ita in medio tempore medium magnitudinis, et universaliter in minori tempore minorem magnitudinem. Et hoc ideo contingit, quia similiter dividitur tempus sicut et magnitudo.