Lectio 4

1. Postquam ostendit quod magnitudo et tempus similiter dividuntur, hic ostendit quod finitum etiam et infinitum similiter inveniuntur in magnitudine et tempore. Et circa hoc tria facit: primo ponit propositum; secundo ex hoc solvit dubitationem, ibi: unde et Zenonis ratio etc.; tertio probat propositum, ibi: neque iam infinitum et cetera.

2. Dicit ergo primo, quod si quodcumque horum duorum, scilicet temporis et magnitudinis, sit infinitum, et alterum est infinitum; et eo modo quo alterum est infinitum et alterum. Et hoc exponit distinguendo duos modos infiniti; dicens quod si tempus est infinitum in ultimis, et magnitudo est infinita in ultimis. Dicitur autem tempus et magnitudo esse infinita in ultimis, quia scilicet ultimis caret; sicut si imaginaremur lineam non terminari ad aliqua puncta, vel tempus non terminari ad aliquod primum aut ultimum instans. Et si tempus sit infinitum divisione, et longitudo erit divisione infinita. Et est hic secundus modus infiniti: dicitur enim divisione infinitum, quod in infinitum dividi potest; quod est de ratione continui, ut dictum est. Et si tempus esset utroque modo infinitum, et longitudo esset utroque modo infinita. Et convenienter isti duo modi infiniti contraponuntur: quia primus modus infiniti accipitur ex parte ultimorum indivisibilium quae privantur; secundus autem modus accipitur secundum indivisibilia quae signantur in medio; dividitur enim linea secundum puncta infra lineam signata.

3. Deinde cum dicit: unde et Zenonis etc., ex praemissis removet dubitationem Zenonis Eleatis, qui volebat probare quod nihil movetur de uno loco ad alium, puta de a in b. Manifestum est enim quod inter a et b sunt infinita puncta media, cum continuum sit divisibile in infinitum. Si ergo movetur aliquid de a in b, oportet quod pertranseat infinita, et quod tangat unumquodque infinitorum; quod non est possibile fieri in tempore finito. Ergo in nullo tempore quantumcumque magno, dummodo sit finitum, aliquid potest moveri per quantumcumque parvum spatium. Dicit ergo philosophus quod ista ratio procedit ex falsa existimatione; quia longitudo et tempus, et quodcumque continuum, dupliciter dicitur esse infinitum, ut dictum est; scilicet secundum divisionem et in ultimis. Si igitur essent aliqua, scilicet mobile et spatium, infinita secundum quantitatem, quod est esse infinitum in ultimis; non contingeret quod se invicem tangerent in tempore finito. Si vero sint infinita secundum divisionem, hoc contingit; quia etiam tempus quod est finitum secundum quantitatem, est sic infinitum, scilicet secundum divisionem. Unde sequitur quod infinitum transeatur, non quidem in tempore finito, sed in tempore infinito; et quod infinita puncta magnitudinis transeantur in infinitis nunc temporis, non autem in nunc finitis. Est autem sciendum quod haec solutio est ad hominem, et non ad veritatem, sicut infra Aristoteles manifestabit in octavo.

4. Deinde cum dicit: neque iam infinitum etc., probat quod supra posuit. Et primo resumit propositum; secundo probat, ibi: sit enim magnitudo et cetera. Dicit ergo primo quod nullum mobile potest transire infinitum spatium in tempore finito, neque finitum spatium in tempore infinito; sed oportet, si tempus est infinitum, quod magnitudo sit infinita, et e converso. Deinde cum dicit: sit enim magnitudo etc., probat propositum. Et primo quod tempus non potest esse infinitum, si magnitudo sit finita; secundo quod e converso, si longitudo sit infinita, tempus non potest esse finitum, ibi: eadem autem demonstratio est et cetera.

5. Primum autem ostendit duabus rationibus: quarum prima talis est. Sit magnitudo finita quae est ab, et sit tempus infinitum quod est g. Accipiatur autem huius infiniti temporis aliqua pars finita quae sit gd. Quia igitur mobile per totum tempus g pertransit totam magnitudinem ab, oportet quod in hac parte temporis quae est gd, pertranseat aliquam partem illius magnitudinis, quae quidem sit be. Cum autem ab magnitudo sit finita et maior, be autem finitum et minus, necesse est quod be aut mensuret totum ab, aut deficiet aut excellet in mensurando, si multoties sumatur be: sic enim omne finitum minus se habet ad finitum maius, ut patet in numeris. Ternarius enim, qui est minor senario, bis acceptus mensurat ipsum: quinarium vero, qui etiam est maior, non mensurat bis acceptus, sed excedit; plus enim est bis tria quam quinque. Similiter etiam et septenarium bis acceptus non mensurat, sed deficit ab eo: minus enim est bis tria quam septem. Sed tamen si ternarius ter accipiatur, excedet etiam septenarium. Nihil autem differt quocumque modo horum trium be se habeat ad ab: quia idem mobile semper pertransibit magnitudinem aequalem ei quod est be, in tempore aequali ei quod est gd. Sed be mensurat totum ab vel excedit ipsum, si multoties sumatur. Ergo et gd mensurabit totum tempus g vel excedit ipsum, si multoties sumatur; et sic oportet quod totum tempus g sit finitum, in quo pertransit totam magnitudinem finitam: quia oportet quod in aequalia secundum numerum dividatur tempus, sicut et magnitudo.

6. Secundam rationem ponit ibi: amplius autem etc.: quae talis est. Quamvis enim detur quod magnitudinem finitam quae est ab, pertranseat aliquod mobile in tempore infinito, non tamen potest dari quod omnem magnitudinem pertranseat in tempore infinito: quia videmus quod multae magnitudines finitae temporibus finitis pertranseuntur. Sit igitur magnitudo finita quae est be, quae pertranseatur tempore finito. Sed be, cum sit finita, mensurat ab, quae est etiam finita. Sed idem mobile pertransibit aequalem magnitudinem ei quae est be, in aequali tempore finito in quo ipsam pertransibat: et ita quot accipiebantur magnitudines aequales be ad constituendam totam ab, tot tempora finita aequalia accipientur ad mensurationem vel constitutionem totius temporis. Unde sequitur quod totum tempus sit finitum.

7. Differt autem haec ratio a prima; quia in prima ratione be ponebatur pars magnitudinis ab, hic autem be ponitur quaedam alia magnitudo separata. Necessitatem autem huius secundae rationis positae ostendit cum subdit: quod autem non in infinito et cetera. Posset enim aliquis contra primam rationem cavillando dicere, quod sicut totam magnitudinem ab pertransit in tempore infinito, ita et quamlibet partem eius; et sic partem be non pertransibit in tempore finito. Sed quia non potest dari quod quamlibet magnitudinem pertranseat tempore infinito, oportuit inducere secundam rationem, quod be sit quaedam alia magnitudo, quam tempore finito pertranseat. Et hoc est quod subdit, quod manifestum est quod mobile non pertransit magnitudinem quae est be in infinito tempore, si accipiatur in altera finitum tempus, idest si accipiatur aliqua alia magnitudo a prima, quae dicatur be, quam pertransit tempore finito. Si enim in minori tempore pertransit partem magnitudinis quam totum, necesse est hanc magnitudinem quae est be, finitam esse, altero termino existente finito, scilicet ab. Quasi dicat: si tempus in quo pertransit be, est finitum, et minus tempore infinito in quo pertransit ab, necesse est quod be sit minor quam ab; et ita quod be sit finita, cum ab finita sit.

8. Deinde cum dicit: eadem autem demonstratio etc., ponit quod eadem demonstratio est ducens ad impossibile, si dicatur quod longitudo sit infinita et tempus finitum. Quia accipietur aliquid longitudinis infinitae, quod erit finitum; sicut accipiebatur aliquid temporis infiniti, quod est finitum.

9. Deinde cum dicit: manifestum igitur ex dictis etc., probat quod nullum continuum est indivisibile. Et primo dicit quod inconveniens sequitur si hoc ponatur; secundo ponit demonstrationem ad illud inconveniens ducentem, ibi: quoniam enim in omni tempore et cetera. Dicit ergo primo manifestum esse ex dictis, quod neque linea neque planum, idest superficies, neque omnino aliquod continuum, est atomus, idest indivisibile: tum propter praedicta, quia videlicet impossibile est aliquod continuum ex indivisibilibus componi, cum tamen ex continuis possit componi continuum; tum etiam quia sequeretur quod indivisibile divideretur.

10. Deinde cum dicit: quoniam enim in omni tempore etc., ponit demonstrationem ad hoc inconveniens ducentem: in qua primo praesupponit quaedam superius manifestata. Quorum unum est, quod in omni tempore contingat velocius et tardius moveri. Secundum est quod velocius plus pertransit de magnitudine in aequali tempore. Tertium est quod contingit esse excessum velocitatis ad velocitatem, et longitudinis pertransitae ad longitudinem, secundum diversas proportiones: puta secundum duplicem, quae est proportio duorum ad unum; et secundum hemioliam, quae habet totum et dimidium, quae alio nomine dicitur sexquialtera, ut proportio trium ad duo; vel secundum quantamcumque aliam proportionem. Ex his autem suppositis sic procedit. Sit haec proportio velocis ad velox, ut inveniatur aliquid velocius altero secundum hemiolium, idest sexquialteram proportionem; et sit ita, quod velocius pertranseat unam magnitudinem quae sit abcd, compositam ex tribus magnitudinibus indivisibilibus, quarum una sit ab, alia bc, tertia cd. In eodem autem tempore oportet quod tardius secundum praedictam proportionem pertranseat magnitudinem compositam ex duabus indivisibilibus magnitudinibus, quae sit magnitudo ezi. Et quia tempus dividitur sicut et magnitudo, necesse est quod tempus in quo velocius pertransit tres indivisibiles magnitudines, dividatur in tria indivisibilia; quia oportet quod aequale in aequali tempore pertranseat. Sit ergo tempus klmn divisum in tria indivisibilia. Sed quia tardius in eodem tempore movetur per ezi, quae sunt duae magnitudines indivisibiles, necesse est quod tempus dividatur in duo media: et sic sequetur quod indivisibile dividatur. Oportebit enim quod tardius unam magnitudinem indivisibilem pertranseat in uno indivisibili tempore et dimidio. Non enim potest dici quod unam indivisibilem magnitudinem transeat in uno indivisibili tempore; quia sic non prius moveretur velocius quam tardius. Ergo relinquitur quod tardius pertranseat indivisibilem magnitudinem in pluri quam in uno indivisibili tempore, et in minori quam in duobus; et sic oportebit unum indivisibile tempus dividi. Et eodem modo sequitur quod indivisibilis magnitudo dividatur, si ponatur quod tardius moveatur per tres indivisibiles magnitudines, in tribus indivisibilibus temporibus. Velocius enim in uno indivisibili tempore movebitur per plus quam per unam indivisibilem magnitudinem, et per minus quam per duas. Unde manifestum fit, quod nullum continuum potest esse indivisibile.