Lectio 15

1. Postquam ostendit philosophus quod demonstratio est ex his quae sunt per se, hic concludit quod demonstratio est ex principiis propriis, non extraneis, neque ex communibus. Et dividitur in duas partes: in prima, ostendit quod demonstratio procedit ex propriis principiis; in secunda, determinat quae sint principia propria et quae communia; ibi: difficile autem et cetera. Prima in duas: in prima, ostendit quod demonstratio non procedit ex principiis extraneis; in secunda, ostendit quod non procedit ex principiis communibus; ibi: quoniam autem manifestum est et cetera. Prima in duas: in prima, ex praemissis ostendit quod demonstratio non est ex principiis extraneis; in secunda, ex praemissis etiam ostendit quod demonstrationes non sunt de rebus corruptibilibus, sed de sempiternis; ibi: manifestum autem et si sint propositiones et cetera. Circa primum tria facit: primo, proponit intentum; secundo, probat propositum; ibi: tria enim sunt etc.; tertio, concludit intentum; ibi: propter hoc geometriae et cetera.

2. Dicit ergo primo quod, ex quo demonstratio est ex his quae sunt per se, manifestum est quod non contingit demonstrare descendentem vel procedentem ex alio genere in aliud genus, sicut non contingit quod geometria ex propriis principiis demonstret aliquid descendens in arithmeticam.

3. Deinde cum dicit: tria enim etc., propositum probat. Et circa hoc tria facit. Primo, praemittit quae sint necessaria ad demonstrationem, dicens quod in demonstrationibus tria sunt. Unum est, quod demonstratur, scilicet conclusio, quae quidem continet in se id, quod per se inest alicui generi: per demonstrationem enim concluditur propria passio de proprio subiecto. Aliud autem sunt dignitates, ex quibus demonstratio procedit. Tertium autem est genus subiectum, cuius proprias passiones et per se accidentia demonstratio ostendit.

4. Secundo; ibi: ex quibus igitur etc., ostendit quid praedictorum trium possit esse commune diversis scientiis et quid non, dicens quod horum trium unum, scilicet dignitates, ex quibus demonstratio procedit, contingit esse idem in diversis demonstrationibus et etiam in diversis scientiis: sed in illis scientiis, quarum est diversum genus subiectum, sicut in arithmetica, quae est de numeris, et geometria, quae est de magnitudinibus, non contingit quod demonstratio, quae procedit ex principiis unius scientiae, puta arithmeticae, descendat ad subiecta alterius scientiae, sicut ad magnitudines, quae sunt subiecta geometriae; nisi forte subiectum unius scientiae contineatur sub subiecto alterius, sicut si magnitudines contineantur sub numeris (quod quidem qualiter contingat, scilicet subiectum unius scientiae contineri sub subiecto alterius, posterius dicetur). Magnitudines enim sub numeris non continentur, nisi forte secundum quod magnitudines numeratae sunt. Subiecta etiam diversarum demonstrationum sive scientiarum diversa sunt. Arithmetica enim demonstratio semper habet genus proprium circa quod demonstrat. Et aliae scientiae similiter.

5. Tertio; ibi: quare aut simpliciter etc., probat propositum. Et circa hoc duo facit. Primo, inducit principale propositum per modum conclusionis, eo quod ex praemissis haberi potest, dicens: quare manifestum est quod necesse est, aut esse simpliciter idem genus, circa quod sumuntur principia et conclusiones, et sic non est descensus, neque transitus de genere in genus: aut si debet demonstratio descendere ab uno genere in aliud, oportet esse unum genus sic, idest quodammodo. Aliter enim impossibile est quod demonstretur aliqua conclusio ex aliquibus principiis, cum non sit idem genus vel simpliciter vel secundum quid. Sciendum est autem quod simpliciter idem genus accipitur, quando ex parte subiecti non sumitur aliqua differentia determinans, quae sit extranea a natura illius generis; sicut si quis per principia verificata de triangulo procedat ad demonstrandum aliquid circa isoscelem vel aliquam aliam speciem trianguli. Secundum quid autem est unum genus, quando assumitur circa subiectum aliqua differentia extranea a natura illius generis; sicut visuale est extraneum a genere lineae, et sonus est extraneus a genere numeri. Numerus ergo simpliciter, qui est genus subiectum arithmeticae, et numerus sonorum, qui est genus subiectum musicae, non sunt unum genus simpliciter. Similiter autem nec linea simpliciter, quam considerat geometra, et linea visualis, quam considerat perspectivus. Unde patet quod quando ea, quae sunt lineae simpliciter, applicantur ad lineam visualem, fit quodammodo descensus in aliud genus: non autem quando ea, quae sunt trianguli, applicantur ad isoscelem.

6. Secundo; ibi: ex eodem enim genere etc., ostendit propositum hoc modo. Oportet in demonstratione eiusdem generis esse media et extrema. Extrema autem in conclusione continentur. Nam maior extremitas in conclusione est praedicatum; minor vero extremitas subiectum; medium autem in praemissis continetur. Oportet igitur principia et conclusiones circa idem genus sumi. Cum autem huic coniunxerimus quod diversae scientiae sint circa diversa genera subiecta; ex necessitate sequitur quod ex principiis unius scientiae non concludatur aliquid in alia scientia, quae non sit sub ea posita. Quod autem in demonstratione oporteat media et extrema unius generis esse, sic probat. Detur enim quod medium sit alterius generis ab extremis, sicut si extrema sint triangulus et habere tres angulos aequales duobus rectis. Manifestum est quod passio conclusa de triangulo, per se inest ei; non autem per se inest aeneo. Et si e contrario passio per se inesset aeneo, puta sonorum esse, vel aliquid huiusmodi, palam est quod per accidens inesset triangulo. Unde patet quod oportet omnino, si subiectum conclusionis et medium sint penitus alterius generis, quod passio vel non per se insit medio vel non per se insit subiecto: et ita oportet quod alteri eorum insit per accidens. Et si quidem insit medio per accidens, erit per accidens in praemissis; si autem subiecto, erit in conclusione: et hoc ex parte passionis. Sed utroque modo oportebit per accidens esse in praemissis, quantum ad hoc quod subiectum accipitur sub medio: sicut si triangulus accipiatur sub aeneo aut e converso. Ostensum est autem quod in demonstrationibus tam conclusio, quam praemissae sunt per se et non per accidens. Oportet ergo in demonstrationibus medium et extrema eiusdem generis esse.

7. Deinde cum dicit: propter hoc geometriae etc., infert duas conclusiones ex praemissis. Quarum prima est quod nulla scientia demonstrat aliquid de subiecto alterius scientiae, sive sit scientiae communioris sive alterius scientiae disparatae; sicut geometria non demonstrat quod contrariorum eadem est scientia: contraria enim pertinent ad scientiam communem, scilicet ad philosophiam primam vel dialecticam. Et similiter geometria non demonstrat quod duo cubi sint unus cubus, idest quod ex ductu unius numeri cubici in alium numerum cubicum surgat numerus cubicus. Dicitur autem numerus cubicus, qui consurgit ex ductu unius numeri in seipsum bis; sicut octonarius est numerus cubicus, surgit enim ex ductu binarii in seipsum bis, quia bis duo bis sunt octo. Et eadem ratione vigintiseptem est numerus cubicus, et radix eius est tria, quia ter tria ter faciunt vigintiseptem. Si ergo ducantur octo in vigintiseptem consurgit numerus cubicus, idest ducenta sexdecim, cuius radix est sex: quia sexies sex sexies sunt ducenta sexdecim. Hoc ergo habet probare arithmeticus, non geometra. Et similiter, quod est unius scientiae non habet probare alia scientia, nisi forte una scientia sit sub altera; sicut se habet perspectiva ad geometriam, et consonantia vel harmonica, idest musica, ad arithmeticam.

8. Secunda conclusio ponitur; ibi: neque si aliquid et cetera. Et est quod scientia etiam de proprio subiecto non probat quodlibet accidens, sed accidens quod est sui generis. Sicut si aliquid inest lineis, non secundum quod sunt lineae, neque secundum propria principia linearum, hoc non demonstrat geometra de lineis; sicut quod linea recta sit pulcherrima linearum, aut recta linea si est contraria circulari vel non. Haec enim non sunt secundum proprium genus lineae, sed secundum aliquid communius. Pulchrum enim et contrarium genus lineae transcendunt.